ЕГЭ по информатике 2016. Логика, задание 18

Задание 18. На числовой прямой даны два отрезка: P = [20, 50] и Q = [30,65]. Отрезок A таков, что формула ¬(x Î A) → ((x Î P) →¬ (x Î Q)) 

истинна при любом значении переменной x. Какова наименьшая возможная длина отрезка A?  

Решение:

1. Для того чтобы упростить понимание выражения, обозначим отдельные высказывания буквами

А:  x Î А,             P: x Î P,              Q: x Î Q

2. Перейдем к более простым обозначениям

¬A → (P →¬Q) 

3. Раскрываем импликацию по формуле A → В = ¬А + В :

¬A → (P →¬Q) = A + (P →¬Q) = A + ¬P+ ¬Q

4. Поскольку это выражение должно быть равно 1, то А должно быть истинным везде, где ложно ¬P+ ¬Q

5. Таким образом, A может быть истинным только там, где ложно ¬P+ ¬Q

6. Отрезок А должен перекрыть область на числовой оси, которая не входит в область ¬P+ ¬Q, ¬P – область выделена голубым цветом, ¬Q – серым:

7. Выражение ¬P+ ¬Q ложно на отрезке [30, 50], на рисунке он обозначен зелёным цветом, его длина – 20, это и есть правильный ответ.

Ответ: 20