Логика. Задание №15 "Задачи с отрезками"

На числовой прямой даны два отрезка: P = [20, 27] и Q = [28, 40]. Найдите наименьшую возможную длину отрезка A, при котором формула

(x ∈ P) ∧ ¬(¬(x ∈ Q) ∨ (x ∈A))

тождественно ложна, то есть принимает значение 0 при любых x.

Решение

1. Обозначим отдельные высказывания буквами: А:  x ∈ А, P: x ∈ P и Q: x ∈ Q

2. Перейдем к более простым обозначениям P /\ ¬(¬Q + A )

3. P /\ ¬(¬Q + A ) = P /\ Q /\ ¬A  

4. Поскольку это выражение должно быть равно 0, то ¬А должно быть ложно (или А должно быть истинно) везде, где P /\ Q истинно.

5. Таким образом, А может быть истинным только там, где P /\ Q истинно

6. Отрезок А должен перекрыть область пересечения отрезков Р и Q, P – область выделена желтым цветом, Q – серым:

7. Отрезки Р и Q не пересекаются, т.е. отрезок А имеет длину 0.

Ответ: 0