Логика. Задание № 15 "Задачи на множества чисел"

Элементами множеств А, P, Q являются натуральные числа, причём P={2,4,6,8,10,12} и Q={4,8,12,116}. Известно, что выражение (x ∈ P) → (((x ∈ Q) ∧ (x ∉ A)) → (x ∉ P)) истинно (т. е. принимает значение 1) при любом значении переменной х. Определите наименьшее возможное значение суммы элементов множества A.

Решение

1) Введем обозначения: P: x ∈ P, Q: x ∈ Q, A: x ∈ A

2) Запишем выражение в новых обозначениях: Р → ( ( Q ∧ ¬A ) → ¬Р )

3) Преобразуем: Р → ( ( Q ∧ ¬A ) → Р ) = ¬Р + ¬Q + A + ¬P = ¬Р + ¬Q + A = 1

4) Если ¬Р + ¬Q = 0, то должно выполняться условие А = 1. Выразим А через P и Q:

А = ¬ (¬Р + ¬Q) = P · Q

5) Элементами множества А являются натуральные числа, которые входят и в множество P и в множество Q: А={4,8,12}

6) 4 + 8 + 12 = 24

Ответ: 24